超曲面上の測地線の方程式

ユークリッド空間内の超曲面を \(f ( x ) = 0 \)で表し、この超曲面上の測地線を$x(t)$とする。

\( f(x(t)) = 0\) を \( t\) で微分すると、

$$ \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{d x_i}{d t} = 0 $$

さらに\( t\)で微分すると、

$$ v_i = \frac{d x_i}{d t} $$

$$ \sum_{i, j} \frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j + \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{d v_i}{d t} = 0 $$

測地線上において、$\frac{d v_i}{d t}$の法線方向は0であるから以下のようにおける：

$$ \frac{d v_i}{d t} = a(x, v) \frac{\partial f}{\partial x_i} $$

ゆえに、

$$ \sum_{i, j} \frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j + \sum_i {\left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)}^2 a(x, v) = 0 . $$

よって、

$$ a(x, v) = - \frac{\sum_{i, j}\frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j }{\sum_i {\left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)}^2} $$

したがって測地線の微分方程式は次のようになる：

$$ \frac{{d}^2 x_k}{d {t}^2} = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x_k}}{\sum_i {\left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)}^2} \sum_{i, j}\frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j $$

参考書：