2変数の曲面

2変数の曲面

$$ z = h(x_1, x_2) $$

を以下のように変形する。

$$ f = - h(x_1, x_2) + z $$

このとき、$k=1, 2$に対して測地線の方程式は次のようになる:

$$ \frac{d v_k}{d t} = - \frac{\frac{\partial h}{\partial x_k}}{{\left(\frac{\partial h}{\partial x_1} \right)}^2 +{\left(\frac{\partial h}{\partial x_2} \right)}^2 + 1} {\left( \frac{{\partial}^2 h}{\partial {x_1}^2} {v_1}^2 + 2\frac{{\partial}^2 h}{\partial x_1 \partial x_2} v_1 v_2 + \frac{{\partial}^2 h}{\partial {x_2}^2} {v_2}^2 \right)} $$

例:双曲面

$$ z = x_1 x_2 $$

f:id:gllas3020paktetrs:20200505233752p:plain

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双曲面

測地線の方程式

$$ \frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \end{array} \right) $$

,

$$ \frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \end{array} \right)= -\frac{2 v_1 v_2}{1+{x_1}^2+{x_2}^2} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right) $$

f:id:gllas3020paktetrs:20200506123719p:plain
測地線

※測地線は以下のコードで書いた

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

def vector_field(var, t):
    x1, x2, v1, v2 = var
    y1 = v1
    y2 = v2
    y3 = -(2*v1*v2*x1)/(1+x1**2+x2**2)
    y4 = -(2*v1*v2*x2)/(1+x1**2+x2**2)
    return y1, y2, y3, y4

def hyperbolic_surface(x1, x2):
    return x1*x2

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d') 
ax.set_xlabel('x1')
ax.set_ylabel('x2')
ax.set_zlabel('z')

for theta in np.deg2rad(np.arange(0, 360, 30)):
    v10 = np.cos(theta)
    v20 = np.sin(theta)
    
    y = odeint(vector_field, [0, 0, v10, v20], np.linspace(-1, 1, 1000))

    ax.plot(y[:, 0], y[:, 1], np.prod(y[:, :2], axis=1), color='black', linewidth=0.3)

x1_list = np.arange(-2, 2, 0.05)
x2_list = np.arange(-2, 2, 0.05)
x1_list, x2_list = np.meshgrid(x1_list, x2_list)
z_list = hyperbolic_surface(x1_list, x2_list)
ax.plot_surface(x1_list, x2_list, z_list, alpha=0.2)

plt.show()

参考書:

超曲面上の測地線の方程式

ユークリッド空間内の超曲面を \(f ( x ) = 0 \)で表し、この超曲面上の測地線を$x(t)$とする。

\( f(x(t)) = 0\) を \( t\) で微分すると、

$$ \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{d x_i}{d t} = 0 $$

さらに\( t\)で微分すると、

$$ v_i = \frac{d x_i}{d t} $$

$$ \sum_{i, j} \frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j + \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{d v_i}{d t} = 0 $$

測地線上において、$\frac{d v_i}{d t}$の法線方向は0であるから以下のようにおける:

$$ \frac{d v_i}{d t} = a(x, v) \frac{\partial f}{\partial x_i} $$

ゆえに、

$$ \sum_{i, j} \frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j + \sum_i {\left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)}^2 a(x, v) = 0 . $$

よって、

$$ a(x, v) = - \frac{\sum_{i, j}\frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j }{\sum_i {\left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)}^2} $$

したがって測地線の微分方程式は次のようになる:

$$ \frac{{d}^2 x_k}{d {t}^2} = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x_k}}{\sum_i {\left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)}^2} \sum_{i, j}\frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j $$

参考書:

研究の道筋

非コンパクトケーラー多様体上のアインシュタイン計量の研究

非線形問題と複素幾何学

コンパクトの場合だが参考になる手法が多い

・複素幾何(小林昭七)

・Lecture on Kaehler Manifold

・Kunnelの講義録

完備リーマン計量を復習

Riemannian Geometry(GTM)を読む

・具体例で感覚を養いたい

多様体入門(東大出版、坪井俊)を読む

数学系の人に有用なサイト

集めて見ました。時々更新すると思います。

arXiv
https://arxiv.org
有名論文サイト
スマホ向けアプリも使える

Project Epuclid
https://projecteuclid.org
論文サイト
ジャーナルに投稿された論文で、無料公開しているものを検索できる

京都大学数理解析研究所講究録
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/kokyuroku.html
RIMSでの研究集会の講究録

mathoverflow
http://mathoverflow.net
数学研究者の為の質問サイト

オンライン整数列大辞典
http://oeis.org/?language=japanese
適当な数列を入力すると、合致した数列を検索できる

AMS open math notes
https://www.ams.org/open-math-notes
最近誕生したサイト
講義録をダウンロードできる

http://www.onlineuniversities.com/blog/2009/07/100-best-websites-for-mathletes/
数学系に有用なサイトを100紹介
ただし、英語圏の人の為のもの中心