2変数の曲面
2変数の曲面
$$ z = h(x_1, x_2) $$
を以下のように変形する。
$$ f = - h(x_1, x_2) + z $$
このとき、$k=1, 2$に対して測地線の方程式は次のようになる:
$$ \frac{d v_k}{d t} = - \frac{\frac{\partial h}{\partial x_k}}{{\left(\frac{\partial h}{\partial x_1} \right)}^2 +{\left(\frac{\partial h}{\partial x_2} \right)}^2 + 1} {\left( \frac{{\partial}^2 h}{\partial {x_1}^2} {v_1}^2 + 2\frac{{\partial}^2 h}{\partial x_1 \partial x_2} v_1 v_2 + \frac{{\partial}^2 h}{\partial {x_2}^2} {v_2}^2 \right)} $$
例:双曲面
$$ z = x_1 x_2 $$
測地線の方程式
$$ \frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \end{array} \right) $$
,
$$ \frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \end{array} \right)= -\frac{2 v_1 v_2}{1+{x_1}^2+{x_2}^2} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right) $$
※測地線は以下のコードで書いた
import numpy as np from scipy.integrate import odeint import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D def vector_field(var, t): x1, x2, v1, v2 = var y1 = v1 y2 = v2 y3 = -(2*v1*v2*x1)/(1+x1**2+x2**2) y4 = -(2*v1*v2*x2)/(1+x1**2+x2**2) return y1, y2, y3, y4 def hyperbolic_surface(x1, x2): return x1*x2 fig = plt.figure() ax = fig.gca(projection='3d') ax.set_xlabel('x1') ax.set_ylabel('x2') ax.set_zlabel('z') for theta in np.deg2rad(np.arange(0, 360, 30)): v10 = np.cos(theta) v20 = np.sin(theta) y = odeint(vector_field, [0, 0, v10, v20], np.linspace(-1, 1, 1000)) ax.plot(y[:, 0], y[:, 1], np.prod(y[:, :2], axis=1), color='black', linewidth=0.3) x1_list = np.arange(-2, 2, 0.05) x2_list = np.arange(-2, 2, 0.05) x1_list, x2_list = np.meshgrid(x1_list, x2_list) z_list = hyperbolic_surface(x1_list, x2_list) ax.plot_surface(x1_list, x2_list, z_list, alpha=0.2) plt.show()
参考書:
超曲面上の測地線の方程式
ユークリッド空間内の超曲面を \(f ( x ) = 0 \)で表し、この超曲面上の測地線を$x(t)$とする。
\( f(x(t)) = 0\) を \( t\) で微分すると、
$$ \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{d x_i}{d t} = 0 $$
さらに\( t\)で微分すると、
$$ v_i = \frac{d x_i}{d t} $$
$$ \sum_{i, j} \frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j + \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{d v_i}{d t} = 0 $$
測地線上において、$\frac{d v_i}{d t}$の法線方向は0であるから以下のようにおける:
$$ \frac{d v_i}{d t} = a(x, v) \frac{\partial f}{\partial x_i} $$
ゆえに、
$$ \sum_{i, j} \frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j + \sum_i {\left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)}^2 a(x, v) = 0 . $$
よって、
$$ a(x, v) = - \frac{\sum_{i, j}\frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j }{\sum_i {\left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)}^2} $$
したがって測地線の微分方程式は次のようになる:
$$ \frac{{d}^2 x_k}{d {t}^2} = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x_k}}{\sum_i {\left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)}^2} \sum_{i, j}\frac{{\partial}^2 f}{\partial x_i \partial x_j} v_i v_j $$
参考書:
数学系の人に有用なサイト
集めて見ました。時々更新すると思います。
arXiv
https://arxiv.org
有名論文サイト
スマホ向けアプリも使える
Project Epuclid
https://projecteuclid.org
論文サイト
ジャーナルに投稿された論文で、無料公開しているものを検索できる
京都大学数理解析研究所講究録
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/kokyuroku.html
RIMSでの研究集会の講究録
mathoverflow
http://mathoverflow.net
数学研究者の為の質問サイト
オンライン整数列大辞典
http://oeis.org/?language=japanese
適当な数列を入力すると、合致した数列を検索できる
AMS open math notes
https://www.ams.org/open-math-notes
最近誕生したサイト
講義録をダウンロードできる
http://www.onlineuniversities.com/blog/2009/07/100-best-websites-for-mathletes/
数学系に有用なサイトを100紹介
ただし、英語圏の人の為のもの中心